CLASE 2

EL TEOREMA DE BAYES

El reverendo Thomas Bayes jamás pensó que con su famoso teorema iba a dejar la "reverenda" . Alabado por unos, aquellos en que le favorece el teorema en la corte judicial, y denostado por otros, los que son declarados culpables luego de las pruebas "objetivas" de confesión de culpabilidad o la prueba de la "huella genética". No es por nada que existe una cofradía de "estadísticos bayesianos" que gozan de excelente salud en el campo de la investigación matemática; cofradía que a veces incursionamos cuando tocamos temas de la estadística forense. Podemos ver uno de sus pocos retratos que tenemos de Thomas Bayes (que dicho sea de paso no le favorecen mucho), y que se encuentra en la columna derecha.

Veamos ahora una versión simple del teorema de Bayes.

Supongamos que para un todos los posibles resultados de un fenómeno aleatorio, existen dos escenarios que son antagónicos y complementarios. Es decir que puede ocurrir el escenario A, o el escenario complementario Å, donde la unión de ambos cubre todos los posibles resultados. Para ambos escenarios, tenemos definida una probabilidad, a saber P(A) y P(Å), donde obviamente

P(A) + P(Å) = 1

Supongamos que B, es otro suceso de tal forma que las probabilidades condicionales

P(B / A)  y  P(B / Å)

son conocidas. De otra forma se conoce, en virtud de la ley de probabilidad total, la probabilidad de B, puesto que

P(B) = P(B / A) P(A) + P(B / Å) P(Å)

Entonces, las probabilidades

P(A / B)  y  P(Å / B)

llamadas "a posteriori" se pueden calcular mediante

P(A / B) = P(B / A) P(A) / P(B)

P(Å / B) = P(B / Å) P(Å) / P(B)

Lo importante es notar lo siguiente. El conjunto B es una información adicional que tenemos (o podemos conseguir), de manera tal que ella puede "mejorar" la incertidumbre la incertidumbre inicial (a priori) que teníamos de los escenarios A yÅ.

La demostración completa de este teorema se entrega a continuación.

CLASE 1

INTRODUCCION

El teorema de Bayes es algo con lo que ya se choca un estudiante en bachillerato cuando se enfrenta a las matemáticas, y que deviene en mucho más cotidiano, no sólo para estudiantes de Ciencias Matemáticas o Informática, sino para casi cualquier disciplina científica. Por lo que puede resultar de interés que le dediquemos algo de tiempo a conocer su origen.

No es mucho lo que sabemos de la vida del reverendo, Thomas Bayes pues a pesar de que fue miembro de la Royal Society, en Londres, este gran matemático no llegó a hacer públicos sus principales trabajos en vida. De hecho, sólo publicó dos obras menores, y sólo una de ellas relacionada con su actividad científica. Probablemente, nunca llegó a ser consciente de la importancia que iba a tener su teorema.

Alabado por unos, aquellos a los que puede favorecer su aplicación en una corte judicial, y denostado por otros, los que pueden ser declarados culpables tras de las pruebas “objetivas” de confesión de culpabilidad o la prueba de la “huella genética”. No es, pues, nada casual que actualmente llegue a existir una autentica cofradía de “estadísticos bayesianos” que gozan de excelente salud en el campo de la investigación matemática e informática

El padre de Thomas, Josué Bayes, fue uno de los seis primeros predicadores presbiterianos que fueron ordenados en Inglaterra, en el año 1694 y tras lo que se trasladó a una localidad cercana a Londres para su ejercicio pastoral. Su madre se llamaba Anne Carpenter y conformaban una familia adinerada de la época.

El trabajo de Bayes permaneció largamente ignorado en los anaqueles de la Royal Society, y tuvo escasa o nula influencia entre los matemáticos de la época, hasta su redescubrimiento por Jean-Antoine Nicolás Caritat, Marqués de Condorcet alrededor de 1774, y su toma en consideración por Laplace en su “Théorie analytique des probabilités” de 1812, donde ya toma la forma más conocida:

Desde entonces, y mucho más desde el advenimiento de la informática, el teorema de Bayes ha tenido un influencia crucial en el desarrollo científico, pues no es baladí su contribución a la evaluación de los grados de certeza de diferentes hipótesis.  Y ha tenido enormes aplicaciones en todos los ámbitos.

Las aplicaciones del teorema de Teorema de Bayes son enormes, si bien no exentas de grandes polémicas. El problema radica en que cuando decimos “el suceso A ha ocurrido” se puede pensar que es un hecho determinista, y por lo tanto no tiene objeto calcular la probabilidad P(A), pues si A ha ocurrido es claro que debe ser 1. Pero el problema es bien distinto si lo que afirmamos es “en caso de que A ocurra”, que es la interpretación correcta para la aplicación del teorema. Por otro lado, las probabilidades asociadas a los eventos Ai son de tipo a priori, y que a veces deben asignarse de manera arbitraria, puesto que no se tiene información sobre el “pasado”, si bien se espera que vayan a ser “mejoradas” con la nueva información que puede aportar la ococurrencia del  suceso A. Es por eso que las probabilidades P(Ai / B) son llamadas a posteriori.

Una posible crítica sería si pudiera darse que con los mismos datos, el uso de distintas P(Ai) pudiera llevar a resultados diferentes. Podemos decir que cuando hay pocos datos, la distribución a priori lo compensa, si bien con muchos tiene poco peso, como veremos en el ejemplo de más adelante.