EL TEOREMA DE BAYES
El reverendo Thomas Bayes jamás pensó que con su famoso teorema iba a dejar la "reverenda" . Alabado por unos, aquellos en que le favorece el teorema en la corte judicial, y denostado por otros, los que son declarados culpables luego de las pruebas "objetivas" de confesión de culpabilidad o la prueba de la "huella genética". No es por nada que existe una cofradía de "estadísticos bayesianos" que gozan de excelente salud en el campo de la investigación matemática; cofradía que a veces incursionamos cuando tocamos temas de la estadística forense. Podemos ver uno de sus pocos retratos que tenemos de Thomas Bayes (que dicho sea de paso no le favorecen mucho), y que se encuentra en la columna derecha.
Veamos ahora una versión simple del teorema de Bayes.
Supongamos que para un todos los posibles resultados de un fenómeno aleatorio, existen dos escenarios que son antagónicos y complementarios. Es decir que puede ocurrir el escenario A, o el escenario complementario Å, donde la unión de ambos cubre todos los posibles resultados. Para ambos escenarios, tenemos definida una probabilidad, a saber P(A) y P(Å), donde obviamente
P(A) + P(Å) = 1
Supongamos que B, es otro suceso de tal forma que las probabilidades condicionales
P(B / A) y P(B / Å)
son conocidas. De otra forma se conoce, en virtud de la ley de probabilidad total, la probabilidad de B, puesto que
P(B) = P(B / A) P(A) + P(B / Å) P(Å)
Entonces, las probabilidades
P(A / B) y P(Å / B)
llamadas "a posteriori" se pueden calcular mediante
P(A / B) = P(B / A) P(A) / P(B)
P(Å / B) = P(B / Å) P(Å) / P(B)
Lo importante es notar lo siguiente. El conjunto B es una información adicional que tenemos (o podemos conseguir), de manera tal que ella puede "mejorar" la incertidumbre la incertidumbre inicial (a priori) que teníamos de los escenarios A yÅ.
La demostración completa de este teorema se entrega a continuación.
